▶️임용 기출 문제 풀이(카르노맵, 부울함수, 간소화)

▶️ 문제 설명

다음과 같은 부울 함수가 주어졌습니다:

 

이 부울 함수를 **카르노 맵(K-map)**을 이용하여 가장 간단한 형태로 최소화하는 것이 목표입니다. 이를 위해 다음과 같은 과정을 거칩니다.

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▶️ 1단계: 카르노 맵 구조 이해하기

4변수 K-map은 4x4 형태의 그리드로 구성되며, 각 셀은 0~15의 minterm 번호를 나타냅니다. 행은 변수 A와 B, 열은 변수 C와 D에 의해 결정됩니다.

AB \ CD | 00 | 01 | 11 | 10
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00      |  0 |  1 |  3 |  2
01      |  4 |  5 |  7 |  6
11      | 12 | 13 | 15 | 14
10      |  8 |  9 | 11 | 10

문제에서 주어진 1의 위치: 0, 1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15

 

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▶️ 2단계: K-map 상역이 필요한 minterm 표시

K-map 에 해당 minterm 값을 ‘1’으로 표시한 후, 가리 가보다 가장 크게 무리적으로 바뀌는 구분 구조(그룹)들을 만들며 추측 해야 합니다.

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▶️ 3단계: Prime Implicants 구하기

Prime Implicants는 1의 그룹 구조에서 만든 것이며, 아래가 가변구입니다:

• (8, 9, 10, 11): BD
• (0, 1): B'D'
• (13, 15): AD
• (2, 10): B'C'

→ Prime Implicants: BD, B'D', AD, B'C'

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▶️ 4단계: Essential Prime Implicants 구하기

Essential Prime Implicants는 다른 구분구조가 모두 가르지 못하는 여러 1의 값을 포함한 그룹입니다.

각 그룹이 포함하는 minterm 분석:

• B'D': 0, 1
• AD: 13, 15
• B'C': 2, 10

이들은 각각 단독으로 특정 minterm을 커버하므로 필수입니다.

→ Essential Prime Implicants: B'D', AD, B'C'

그 외에 BD는 (8, 9, 10, 11)을 커버하므로 **필요하지만 비필수(Non-Essential)**입니다.

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▶️ 5단계: 최소화된 부울 식 구하기

최종적으로 모든 1을 커버하기 위해 필요한 항은 다음과 같습니다:

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▶️ 요약 정리

• Prime Implicants 개수: 4개
• Essential Prime Implicants: B'D', AD, B'C'
• 최소화된 부울 함수: F = BD + B'D' + AD + B'C'